Énigme B : Existe-t-il deux rectangles ayant même aire alors que le périmètre de l’un est double de celui de l’autre ?

La figure modifiable 13_2 permet de relancer la recherche en visualisant deux familles de rectangles :

• la famille de rectangles rougeâtres de périmètre \(2|AB|\) est visualisée en tirant le point \(P\) à la souris.
• la famille de rectangles jaunes de périmètre \(|AB|\) est visualisée en tirant le point \(M\) à la souris.

Les aires des rectangles sont affichées continuellement. Les modifications font penser qu’il doit exister un rectangle rouge et un rectangle jaune de même aire.

À un niveau très élémentaire, cette conviction peut redonner du courage pour reprendre une recherche numérique. Le tableau suivant traite le cas de rectangles d'aire 60,

Avec des élèves plus âgés, les mesures de longueur ne seront plus des naturels et on pourra exploiter leurs connaissances en calcul littéral :

• soit en résolvant le système \(\left\{\begin {array}{l} ab=xy\\ 2(a+b)=x+y \end{array} \right.\)
• soit en posant \(x=\frac {a}{n}\) et \(y=nb\) pour assurer l’égalité d’aires. Il reste alors à résoudre une équation en \(n\), avec deux paramètres \(a\) et \(b\) : \(bn^2- 2(a+b)n+a=0\).

Le réalisant \(a^2+b^2+ab\) est toujours positif. Sans devoir pousser plus loin les calculs, nous avons démontré que l’énigme B est vraie.