Tout nombre naturel admet un unique treillis de diviseurs :
treillis filiformepour les nombres \(a^n\) (\(a\) premier et \(n\) naturel non nul),
treillis planpour les nombres \(a^r b^s\) (\(a\) et \(b\) premiers différents, \(r\) et \(s\) naturels non nuls),
treillis spatialpour les nombres \(a^rb^sc^t\) (conditions analogues)
Sur la partie droite de cet écran, le jeu évolue : à l'aide du bouton Dimension, vous pouvez choisir de jouer sur des treillis plans ou des treillis spatiaux. Les boutons Nouveau Jeu et Recommencer vous permettent de gérer vos jeux.
ComplémentsL’exploitation des treillis plans sous forme numérique peut être prolongée sous forme littérale et éclairer des notions d’arithmétique qui seront plus tard généralisées et écrites formellement. Très brièvement, illustrons quelques étapes.
Dans la grille ci-dessous, repérer des diviseurs et des multiples de \(n\).
Dans le treillis, l’ensemble des diviseurs et l’ensemble des multiples de \(n\).
L’ensemble des diviseurs communs à \(n\) et \(m\).
Ces schémas sont un aboutissement, ils n’arrivent dans une classe qu’après exploitation numérique et accompagnés de lecture en termes de produits \(a^rb^s\). Nous laissons au lecteur la démarche conduisant au plus petit commun multiple.
De telles activités peuvent fixer visuellement des propriétés élémentaires qui seront reformulées plus tard. Par exemple :
Le nombre \(a^rb^s\) est un diviseur du nombre \(a^tb^u\) si et seulement si \(r \leqslant t\) et \(s\leqslant u\).
Le nombre \(a^rb^s\) admet exactement \((r+1)(s+1)\) diviseurs.
\[\hbox{pgcd} (a^rb^s, a^tb^u) = a^{\min (r,t)} b^{\min (s,u)}\]
\[\hbox{ppcm} (a^rb^s, a^tb^u) = a^{\max (r,t)} b^{\max (s,u)}\]
Des pas sont franchis entre des observations sur treillis plans et les formulations ci-dessus qui préparent une nouvelle généralisation lorsque les nombres considérés admettent plus de deux facteurs premiers. Dans ces expressions algébriques, des exposants peuvent être nuls !