Note historique
Dans les figures 5_7 et 5_8, nous avons dessiné trois parallélogrammes extérieurs au triangle \(ABC\).
Dans la figure 5_9, activer Modifier et tirer le point \(P\) à la souris permet d'observer la construction faite par Pappus qui commence par les deux parallélogrammes extérieurs \(ACDE\) et \(ABFG\) ; le point \(H\) apparaît ensuite comme intersection des droites \(DE\) et \(FG\).C'est dans la suite que la construction de Pappus diffère de celle des figures 5_7 et 5_8 : il trace deux segments \(CI\) et \(BJ\) parallèles à \(HA\) et limités aux droites \(HD\) et \(HF\).
Il justifie alors que \(|CI|=|BJ|\) et en déduit que \(CIJB\) est un parallélogramme. Il prolonge \(HA\) et obtient les points \(K\) et \(L\) sur \(IJ\) et \(CB\). Il justifie alors les égalités d'aires :
\[\mathcal{A}(ACDE) = \mathcal{A}(ACIH) = \mathcal{A}(CIKL)\] De façon analogue, il obtient \(\mathcal{A}(ABFG) = \mathcal{A}(KLBJ)\), d'où \[\mathcal{A}(ACDE) + \mathcal{A}(ABFG) = \mathcal{A}(IJBC)\]Remarque : Ce théorème se généralise en dimension 3 en construisant des prismes sur les faces d'un tétraèdre. Les volumes des prismes remplacent alors les aires des parallélogrammes.