À un niveau élémentaire, voici par exemple deux justifications possibles.
Dans le contexte de la figure 7_3 : la zone colorée est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur,
c'est donc un rectangle. Ce rectangle est partagé en quatre zones de
même aire par ses deux diagonales.
Figure 7_4
Dans la figure modifiable 7_5, activez Modifier et
tirez à la souris le point \(P\).
Le polygone régulier à 16 côtés est pavé par 16 triangles isocèles
élémentaires .
Les triangles bleu et jaune qui
apparaissent ont même aire puisque
tout triangle est partagé en deux zones de même aire par
chacune de ses médianes.
L'aire du rectangle magenta vaut 4 fois l'aire du triangle bleu.
Quel que soit 2\(n\), (nombre de côtés du polygone régulier),
si \(x\) est l'aire du petit triangle isocèle élémentaire,
\(\displaystyle\frac{\hbox{Aire de la zone colorée}}{\hbox{Aire du polygone régulier}}= \frac{4x}{2nx}
= \frac{2}{n}\)
Ce résultat général montre que les deux intrus reconnus ne sont pas intrus pour la même raison:
comme le montre la figure 7_5, pour tout polygone régulier à 16 côtés
le rapport vaut \(\frac14\) \(\left(\frac14=\frac4{16}\right)\);
il n'existe par contre aucun polygone régulier ayant un nombre pair de côtés et pour lequel
le rapport vaut \(\frac{3}{4}\).
