Si les élèves connaissent le théorème de Pythagore…

Des relations entre des aires de carrés, cela fait penser au théorème de Pythagore ? Mais il faut que les carrés soient construits sur les côtés d’un triangle rectangle !

Considérons le décagone et le cercle dans lequel il est inscrit. Si \(P\) et \(Q\) sont deux points diamétralement opposés et si \(N\) est un point mobile sur le cercle, tous les triangles \(PQN\) sont rectangles. On peut appliquer le théorème de Pythagore aux carrés bleu, vert et magenta. Pour ce faire, activer `Modifier` et tirer le point \(N\) à la souris dans la figure `11_5`.

Comme le côté du carré magenta est un diamètre du cercle, ce côté est de longueur 2 (l'unité de longueur est le rayon du cercle --- voir figure 11_1) et l'aire de ce carré est 4, (\(E=4\)). En tirant le point \(N\) sur le cercle, on peut faire en sorte que le carré bleu soit le carré 1. On a alors \(1+C=4\), donc \(C=3\). De même, si le carré bleu est le carré \(B\), on \(B+B=4\), donc \(B=2\).

Récapitulons :

\[A<1<B=2<C=3<D<E=4\]

De manière évidente, ni \(A\) ni \(D\) ne sont des entiers.

Il va de soi que le cheminement ci-dessus n’est là qu’à titre exemplatif. La difficulté pour les élèves de percevoir des figures élémentaires utiles à la démonstration ne peut pas être sous-estimée : des coups de pouce sont à doser au fur et à mesure des blocages qui peuvent apparaître. Le support de figures partielles simples et bien dessinées peut aider beaucoup certains élèves. L’emploi d’un logiciel permet d’y recourir économiquement.

Dans une classe de niveau suffisant, la situation peut motiver le calcul des aires des carrés \(A\) et \(D\) ; cela déborde du cadre intrus prévu ici ! Un positionnement adéquat de \(N\) dans la figure `11_5` montre que \(A+D=4\).

Il serait par contre dommage de ne pas remarquer que l’aire du dodécagone vaut 3.