Pour l'énigme `E` comme pour l'énigme `F`, c'est l'animation qui permet d'exploiter la situation.

Dans la figure `16_6`, tirer le point \(X\) sur son curseur pour voir défiler six étapes.

1. Tout pentagone (polygone) régulier a un centre et un cercle circonscrit, les cinq sommets du pentagone sont donc cocycliques.
2. Un point ajouté , \(P\) (ou \(Q\)), est (ou n'est pas) sur le cercle. Un triangle jaune de sommet \(P\) (ou \(Q\)) est accroché au pentagone.
3. Soit \(r\) la rotation de 72° autour du centre du pentagone.
4. L'image du triangle jaune par \(r\) est le triangle bleu. Le point \(r(P)\) appartient au cercle circonscrit au pentagone. Les points \(Q\) et \(r(Q)\) sont à la même distance du centre de rotation (voir le cercle rouge).
5. Soit \(s\) la symétrie orthogonale dont l'axe est la droite support du segment vert.
6. Les images par \(s\) des triangles jaunes et des triangles bleus complètent la figure. Elles font apparaître quatre points sur le cercle rouge.

En modifiant le point \(Q\), on peut amener le cercle rouge sur le cercle noir. Les neuf points (5+4) sont alors cocycliques. L'énigme `E` est un intrus sauf si le point ajouté est sur le cercle circonscrit au pentagone.