Niveau B

Pour analyser la figure `2_4`, `Modifier` ou `Animer` le point \(P\).

- trouver la position de P qui dessine l’énigme `F` (voir la figure `2_1`, page 2_1) ;
- qu’ont en commun les six bandes colorées visualisées en tirant P à la souris ?

Dans tous les cas de figure, la position de E détermine celle des points F, G et H.

Des élèves ne disposant pas du mot abscisse peuvent exprime diverses propriétés de la figure `2_5` :

\(|EF|=|AD|/2\) et \(|HG|=|BC|/2\)

E est situé à 1/10 de \((A,D)\) et \(G\) est situé à 1/10 de \((C,B)\)

F est situé à 6/10 de \((A,D)\) et \(H\) est situé à 6/10 de \((C,B)\)

Est-il vrai que \({\mathcal A}(EHGF)=\displaystyle \frac 12 \cdot {\mathcal A}(ABCD)\) pour toutes les zones colorées apparues successivement en tirant le point \(P\) à la souris dans la figure `2_4` ?

En voici la démonstration dans un cas choisi arbitrairement.

`Figure 2_5` | Dans \(ABC\) et \(ACD\), \({\mathcal A}(AHC)=\frac{6}{10} \cdot {\mathcal A}(ABC)\) et \({\mathcal A}(ACF)=\frac {6}{10} \cdot {\mathcal A}(ACD)\), d’où \[{\mathcal A}(AHCF)=\frac {6}{10} \cdot {\mathcal A}(ABCD).\] Dans \(AHF\) et \(FHC\): \({\mathcal A}(EHF)=\frac {5}{6} \cdot {\mathcal A}(AHF)\) et \({\mathcal A}(FHG)=\frac {5}{6} \cdot {\mathcal A}(FHC)\), d’où \[{\mathcal A}(EHGF)=\frac {5}{6} \cdot {\mathcal A}(AHCF).\]

Et enfin
\[{\mathcal A}(EHGF)=\frac {5}{6} \cdot \frac {6}{10} \cdot {\mathcal A}(ABCD) = \frac {1}{2} \cdot {\mathcal A}(ABCD)\]