Dans l’enseignement primaire, des isométries élémentaires ont été rencontrées.

- Exploitons une rotation autour d’un sommet commun à l’hexagone et aux carrés 1 et \(E\). Dans la figure 11_3, activer `Modifier` et tirer le point \(N\) à la souris pour faire tourner le carré magenta autour de son sommet \(P\). Analyser la figure lorsque le segment \([PQ]\) est appliqué sur la demi-droite \([PR\). Le carré-magenta-image occupe alors une position familière dans le carré \(E\) et rappelle une figure-clé (un carré partagé par ses deux médianes… en quatre quarts). C'est une deuxième façon de justifier \(E=4\).
- Exploitons des translations. Dans la figure 11_3, activer `Modifier` et tirer à la souris le point \(B\) sur son curseur permet d’obtenir une première configuration (« \(E\) construit sur une diagonale de \(B\) »). D’où \(E=2B\). En tirant à la souris les deux points \(B\) et \(E\) sur leurs curseurs, vous obtenez une deuxième configuration (« \(B\) inscrit dans \(E\) »). D’où à nouveau \(E=2B\).

Déduction de ces deux images :

\[E=4 \hbox{ et } E = 2B \Longrightarrow B = 2.\]

Des figures-clés sont (re)mises en chantier : À partir d’un carré que l’on plie ou à partir d’un carré dessiné sur papier quadrillé, comment obtenir un « carré d’aire moitié » ou un « carré d’aire double » ?

Récapitulons les résultats :

\[ A < 1 < B=2 < C < D < E=4.\]

Ce serait joli si l’aire de \(C\) ou de \(D\) valait 3 !