Le jeu du nombre interdit

Ce jeu donne l’occasion de rechercher des diviseurs d’un nombre et, surtout, crée le besoin d’organiser l’ensemble des diviseurs d’un nombre pour dégager une stratégie gagnante (dont la complexité dépend de la structure du treillis et non de la valeur des nombres).

Un nombre naturel \(n\) est choisi comme nombre interdit. Deux joueurs vont, à tour de rôle, proposer un diviseur de \(n\) qui n’est pas diviseur d’un diviseur déjà cité. Celui qui est obligé de proposer \(n\) est perdant.

Exemples :

1. Supposons que \(100\) soit le nombre interdit.
   - 1er coup : le joueur A propose \(50\),
   - 2e coup : le joueur B peut proposer 4 ou 20,
     - Si B propose \(20\), alors A est réduit au choix de \(100\) et perd la partie.
     - Si B propose 4, alors A choisit 20 et B est perdant.
2. Essayez d'autres nombres interdits, par exemple 36, 225\(\ldots\) Une analogie doit apparaître.
3. Peut-être un coup de pouce est-il nécessaire ?
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`Figure 4_9`
4. La stratégie est la même pour les nombres \(100\) et \(36\) et \(225\) du fait que les trois nombres ont même treillis. C'est aussi le cas pour tous les nombres du type \(a^2b^2\) où \(a\) et \(b\) sont premiers et différents.

   Dans ce cas de figure, le joueur qui entame la partie dispose d’une stratégie gagnante et cela se voit dans la structure du treillis. Nous vous laissons le plaisir de le vérifier.

`Figure 4_10`

Chaque joueur doit non seulement rechercher les diviseurs du nombre interdit mais aussi augmenter sérieusement ses chances de gagner en organisant l’ensemble des diviseurs. C’est là qu’intervient le treillis des diviseurs du nombre interdit.

Dans le cas de figure ci-dessus, si le joueur qui entame la partie choisit au premier coup le nombre \(a.b\) (et s'il continue à bien jouer !), il est gagnant.