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Polygones réguliers ayant un nombre pair de côtés

`Figure 7_3`

À un niveau élémentaire, voici par exemple deux justifications possibles.

1. Dans le contexte de la figure `7_3` : la zone colorée est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur, c'est donc un rectangle. Ce rectangle est partagé en quatre zones de même aire par ses deux diagonales.

   `Figure 7_4`

2. Dans la figure modifiable `7_5`, activez `Modifier` et tirez à la souris le point \(P\).
   - Le polygone régulier à 16 côtés est pavé par 16 triangles isocèles élémentaires .
   - Les triangles bleu et jaune qui apparaissent ont même aire puisque tout triangle est partagé en deux zones de même aire par chacune de ses médianes.
   - L'aire du rectangle magenta vaut 4 fois l'aire du triangle bleu.

Quel que soit 2\(n\), (nombre de côtés du polygone régulier), si \(x\) est l'aire du petit triangle isocèle élémentaire,

\(\displaystyle\frac{\hbox{Aire de la zone colorée}}{\hbox{Aire du polygone régulier}}= \frac{4x}{2nx} = \frac{2}{n}\)

Ce résultat général montre que les deux intrus reconnus ne sont pas intrus pour la même raison:

- comme le montre la figure `7_5`, pour tout polygone régulier à 16 côtés le rapport vaut \(\frac14\) \(\left(\frac14=\frac4{16}\right)\);
- il n'existe par contre aucun polygone régulier ayant un nombre pair de côtés et pour lequel le rapport vaut \(\frac{3}{4}\).