Énigme C : Existe-t-il un carré et un rectangle non carré ayant même aire et même périmètre ?

Ébauchons des exploitations dans divers registres :

1. Registre numérique : Partons d'un carré de côté 6, donc d'aire 36 et de demi-périmètre 12. Nous recherchons donc deux nombres \(x\) et \(y\) tels que \(x+y=12\) et \(xy= 36\).

   \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
   \(y=12-x\) | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6
   \(xy\) | 11 | 20 | 27 | 32 | 35 | 36

   Nous cherchons un rectangle non carré, le tableau ci-dessus n'en fournit aucun mais nos essais se limitent à des nombres entiers. Dans la figure `13_3` activer l'option `Modifier` et tirer à la souris le point \(Q\) fait apparaître, pour un carré donné, la famille des rectangles ayant même aire et même périmètre. On peut aussi `Zoomer` le carré jaune.
2. Registre graphique cartésien : La représentation dans le premier quadrant de points \((x,y)\) tels que \(x+y=12\) et \(xy=36\) permet de progresser graphiquement tout en restant dans le domaine discret. (`Figure 13_4`)

   `Figure 13_4` | `Figure 13_5`

   En passant au domaine continu (Figure `13_5`), on obtient un segment et une demi-hyperbole dont il convient d'analyser les positions relatives.
3. Registre algébrique : Soit on analyse les conditions simultanées \(c^2=xy\) ET \(4c=2(x+y)\), soit on résout le système \(\left \{\begin {array}{l} c^2=xy\\ 2c=x+y\\ x\neq y \end{array}\right .\) démontre que l’énigme `C` est fausse puisque les trois conditions à satisfaire sont contradictoires.