Note historique

Dans les figures `5_7` et `5_8`, nous avons dessiné trois parallélogrammes extérieurs au triangle \(ABC\).

Dans la figure `5_9`, activer `Modifier` et tirer le point \(P\) à la souris permet d'observer la construction faite par Pappus qui commence par les deux parallélogrammes extérieurs \(ACDE\) et \(ABFG\) ; le point \(H\) apparaît ensuite comme intersection des droites \(DE\) et \(FG\).

C'est dans la suite que la construction de Pappus diffère de celle des figures `5_7` et `5_8` : il trace deux segments \(CI\) et \(BJ\) parallèles à \(HA\) et limités aux droites \(HD\) et \(HF\).

Il justifie alors que \(|CI|=|BJ|\) et en déduit que \(CIJB\) est un parallélogramme. Il prolonge \(HA\) et obtient les points \(K\) et \(L\) sur \(IJ\) et \(CB\). Il justifie alors les égalités d'aires :

\[\mathcal{A}(ACDE) = \mathcal{A}(ACIH) = \mathcal{A}(CIKL)\] De façon analogue, il obtient \(\mathcal{A}(ABFG) = \mathcal{A}(KLBJ)\), d'où \[\mathcal{A}(ACDE) + \mathcal{A}(ABFG) = \mathcal{A}(IJBC)\]

Remarque : Ce théorème se généralise en dimension 3 en construisant des prismes sur les faces d'un tétraèdre. Les volumes des prismes remplacent alors les aires des parallélogrammes.