Énigme B : Existe-t-il deux rectangles ayant même aire alors que le périmètre de l’un est double de celui de l’autre ?

La recherche papier-crayon en tâtonnant à partir de cas numériques particuliers, risque de prendre du temps sans déboucher sur un exemple. Le doute peut s’installer : de tels rectangles n’existent peut-être pas… on n'a peut-être pas bien cherché !

La figure modifiable `13_2` permet de relancer la recherche en visualisant deux familles de rectangles :

- la famille de rectangles rougeâtres de périmètre \(2|AB|\) est visualisée en tirant le point \(P\) à la souris.
- la famille de rectangles jaunes de périmètre \(|AB|\) est visualisée en tirant le point \(M\) à la souris.

Les aires des rectangles sont affichées continuellement. Les modifications font penser qu’il doit exister un rectangle rouge et un rectangle jaune de même aire.

À un niveau très élémentaire, cette conviction peut redonner du courage pour reprendre une recherche numérique. Le tableau suivant traite le cas de rectangles d'aire 60,

\(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
\(y=60 : x\) | 60 | 30 | 20 | 15 | 12 | 10
\(2(x+y)\) | 122 | 64 | 46 | 38 | 34 | 32

La nuance sera faite entre on pense qu’il existe et on est certain qu’il existe .

Avec des élèves plus âgés, les mesures de longueur ne seront plus des naturels et on pourra exploiter leurs connaissances en calcul littéral :

- soit en résolvant le système \(\left\{\begin {array}{l} ab=xy\\ 2(a+b)=x+y \end{array} \right.\)
- soit en posant \(x=\frac {a}{n}\) et \(y=nb\) pour assurer l’égalité d’aires. Il reste alors à résoudre une équation en \(n\), avec deux paramètres \(a\) et \(b\) : \(bn^2- 2(a+b)n+a=0\).

Le réalisant \(a^2+b^2+ab\) est toujours positif. Sans devoir pousser plus loin les calculs, nous avons démontré que l’énigme `B` est vraie.