D et E posent des problèmes d’universalité.

Algébriser d’une part, calculer des valeurs numériques d’un polynôme d’autre part … dans les deux cas, une approche avec papier, crayon, calcul mental et calculette suggère que `D` et `E` semblent vraies. Mais le travail devient vite fastidieux et on peut faire appel à un tableur !

La figure 13_6 ci-contre réalisée avec `Open Office` illustre le calcul de \(\sqrt {n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\) et justifie l'affirmation suivante:

Pour tout naturel \(n\) compris entre \(0\) et \(25\), \(n(n+1)(n+2)(n+3)+1\) est un carré parfait.

Elle ne permet aucune conclusion sur la valeur de l’énigme `D`. Une démonstration est donc nécessaire. Cette démonstration nécessite un peu de calcul algébrique.

\begin{eqnarray*} {n(n+1)(n+2)(n+3)+1} =(n^2+n)(n^2+5n+6)+1\\ =n^4+6n^3+11n^2+6n+1\\ =(n^2+3n+1)^2\\ \end{eqnarray*}

Comme les autres énigmes de l'intrus 13, l'énigme `E` peut être exploitée à divers niveaux. Voici la démonstration de sa véracité :

\((2n+1)^2-2(2n+3)^2+(2n+5)^2\)
\(= (2n+1)^2-(2n+3)^2+(2n+5)^2 -(2n+3)^2\)
\(=-2(4n+4) + 2(4n+8) = 8\)