Énigme C : Existe-t-il un carré et un rectangle non carré ayant même aire et même périmètre ?
Ébauchons des exploitations dans divers registres :
Registre numérique :
Partons d'un carré de côté 6, donc d'aire 36
et de demi-périmètre 12.
Nous recherchons donc deux nombres \(x\) et \(y\) tels que \(x+y=12\) et \(xy= 36\).
\(x\)
1
2
3
4
5
6
\(y=12-x\)
11
10
9
8
7
6
\(xy\)
11
20
27
32
35
36
Nous cherchons un rectangle non carré, le tableau ci-dessus n'en fournit aucun mais nos essais se limitent
à des nombres entiers. Dans la figure 13_3 activer l'option Modifier et tirer à la souris le point
\(Q\) fait apparaître, pour un carré donné, la famille des rectangles ayant même aire et même périmètre. On peut aussi Zoomer
le carré jaune.
Registre graphique cartésien : La représentation dans le premier quadrant de points \((x,y)\) tels que
\(x+y=12\)
et \(xy=36\) permet de progresser graphiquement tout en restant dans le domaine discret. (Figure 13_4)
Figure 13_4
Figure 13_5
En passant au domaine continu (Figure 13_5), on obtient un segment et une demi-hyperbole dont il convient d'analyser les positions
relatives.
Registre algébrique : Soit on analyse les conditions simultanées \(c^2=xy\) ET \(4c=2(x+y)\), soit
on résout le système \(\left
\{\begin {array}{l}
c^2=xy\\
2c=x+y\\
x\neq y \end{array}\right
.\) démontre
que l’énigme C
est fausse
puisque les
trois conditions
à satisfaire
sont contradictoires.
