Programme du mardi 22 août 2023

Comment délimiter la pâture la plus grande avec une longueur de clôture donnée? Comment fabriquer un tambour avec le son le plus grave? Comment dessiner une fusée économe en carburant? Je présenterai différents problème d’optimisation géométrique et les outils mathématiques qui permettent de les étudier. Les réponses à ces problèmes seront tantôt évidentes tantôt surprenantes.

Dans le cadre d'un enseignement en co-intervention pluridisciplinaire Mathématiques et Histoire-Géographie, nous avons proposé à nos élèves des thèmes d'étude pour les faire grandir, comme élèves, mais aussi comme futurs citoyens responsables. Nous avons mené un thème sur le développement durable (en lien avec le programme de Géographie), puis un projet de cours à distance créé par les élèves dans nos deux matières via une plate-forme numérique pour enfants éloignés du système scolaire. Nous vous présenterons ces deux projets dans la cadre de notre exposé.

Les élèves disposent de triangles rectangles ( deux, puis trois, puis quatre...). Il s'agit de les juxtaposer bord à bord pour former une nouvelle figure. Préciser la nature de cette figure , calculer son périmètre et l' aire en fonction de la longueur des côtés, et éventuellement opérer un classement. Calculer, si intéressant, avec des amplitudes d'angles.

Face aux nombreux écueils propres à l’enseignement de l’algèbre, notre choix s’est porté sur un parcours d’algèbre en synergie avec la modélisation fonctionnelle. Un tel parcours justifié épistémologiquement et didactiquement permet d’organiser et structurer l'enseignement de l’algèbre scolaire en fournissant à celle-ci ses raisons d’être.

Il n'y a rien de bien remarquable à calculer la moyenne de 4 nombres. On peut représenter géométriquement cette opération par le "remplissage-en-moyenne" d'un carré à partir des 4 nombres figurés à l'extérieur de chacun de ses côtés. Ainsi, si on porte à l'extérieur de chaque côté d'un carré un des nombres 1, 5, 22 et 8, on mettra un 9 au coeur de ce carré, puisque 9 est la moyenne des 4 nombres proposés.

Mais que se passe-t-il lorsqu'on veut jouer au même jeu, cette fois-ci au départ d'un damier en carrés 2x2, c'est-à-dire si on veut que chaque case à l'intérieur du damier contienne la moyenne des nombres (dont certains ne sont pas donnés~!) situés sur ses côtés --- ou dans les cases --- adjacent(e)s~? Résoudre ce petit casse-tête s'appelle "résoudre un Carré de Dirichlet 2x2".

Si vous pensez que ce genre de question se ramène à résoudre des équations, vous allez être surpris~! Et beaucoup plus souvent que vous ne l'imaginez~! Pour ne rien vous cacher~: il n'y aura pas que la métamorphose ou la disparition des équations qui va vous surprendre ...

Enfin, si comme V. I. Arnol'd, vous croyez que les mathématiques sont cette partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher, alors là, en prime, vous ne serez pas déçus~!

Dès le plus jeune âge, les enfants grandissent au sein de l’école. Les dimensions de leurs apprentissages dépassent souvent la simple segmentation en disciplines. D’ailleurs, en dehors des murs de l’établissement, il est bien rare qu’une problématique soit résolue en mobilisant des compétences liées à une seule et unique matière.

Il est important, selon nous, de montrer comment les mathématiques se mêlent au français, à l’histoire, à la géographie…quand il s’agit de réaliser un projet.

Un projet est l’occasion de mettre en pratique des enseignements parfois très théoriques et abstraits qui se résument trop souvent au schéma « introduction-synthèse-exercices-problèmes ».

Pouvoir utiliser ses connaissances dans des situations concrètes permettrait dès lors à chaque élève de se confronter à des problématiques survenant « naturellement ».

La recherche en mathématique est prépondérante dans une résolution de problèmes. Chaque franchissement d’obstacle est similaire à un escalier que l’élève enjamberait pour en sortir grandi.

Peut-on soumette de tels défis à nos élèves ?

Au cours de cet atelier, nous partagerons des idées de projets expérimentés au cours de mathématiques et liés de près ou de loin aux autres disciplines. Nous serons donc ravis que vous veniez enrichir les échanges par vos expériences.

Nous souhaitons joindre l'utile à l'agréable. Nous présentons quelques jeux de cartes qui constituent des exercices utiles pour développer des aptitudes mathématiques. Nous montrons et commentons ensuite quelques tours de magie basés sur des propriétés mathématiques, et qui ne requièrent pas de manipulation délicate.

Voici un problème qui peut éventuellement ressembler --- à première vue~! --- à celui des "Carrés extraordinaires", objet de l'exposé précédent.

Si une pièce est placée à l'intérieur d'un damier carré, et si elle se déplace alors suivant une marche aléatoire de type Nord-Est-Sud-Ouest, de manière équiprobable, quelles sont ses probabilités de sortie aux différents segments du bord du damier~?

La seule ressemblance apparente entre les deux problèmes, c'est le rôle du nombre "4". En effet, dans les "Carrés extraordinaires", on calcule des moyennes de 4 nombres et on effectue donc des divisions par 4. Dans une marche aléatoire équiprobable comme ci-dessus, la probabilité de se déplacer dans une des 4 directions privilégiées est égale à "1/4". Mais c'est tout~!

Ah oui~?

En fait, non~! Ces deux problèmes sont absolument .... équivalents~!

Et comprendre pourquoi ils le sont est --- encore une fois --- une source d'expériences et de surprises nombreuses. Ainsi que l'occasion de raconter quelques belles histoires~!